Schlichtes Gebiet

Ein schlichtes Gebiet, Normalbereich oder Normalgebiet ist ein mathematisches Objekt aus der Analysis. Es handelt sich um ein für die Integralrechnung einfach zu handhabendes Gebiet.

Definition

Seien ${\displaystyle g,h\in C([a,b])}$ stetige Funktionen mit ${\displaystyle g\leq h}$. Dann heißt

${\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a\leq x\leq b,\;g(x)\leq y\leq h(x)\rbrace }$

(mit reellen Zahlen ${\displaystyle a$) ein Normalbereich bezüglich der ${\displaystyle x}$-Achse. Analog gilt das im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, indem jeweils jede Koordinate einmal in festen Grenzen betrachtet wird und alle anderen Koordinatengrenzen als Graph stetiger Funktionen.

Motivation

Das Integrieren einer stetigen Funktion ${\displaystyle f\colon G\to \mathbb {R} }$ über einem Normalgebiet ${\displaystyle G}$ lässt sich mit dem Satz von Fubini auf die Berechnung eindimensionaler Integrale zurückführen:

${\displaystyle \int _{G}f(x,y)\,\mathrm {d} (x,y)=\int _{a}^{b}\left(\int _{g(x)}^{h(x)}f(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x}$

Fläche

Für gewöhnlich ist eine der ersten Anwendungen der Integralrechnung in der Schule die Berechnung der Fläche eines schlichten Gebietes. Die Fläche des Gebietes ${\displaystyle G=\lbrace (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\;|\;a$ errechnet sich durch folgendes Integral:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(h(x)-g(x))\,\mathrm {d} x}$.

Kompliziertere Gebiete setzt man anschließend oft aus schlichten Gebieten zusammen.

Literatur

• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis Teil 2, Teubner, Stuttgart, 1992, ISBN 3-519-12232-4